Олимпиада по математике 10 класс с решением

Олимпиада по математике 10 класс с решением и ответами


                     Вариант 1            Вариант 2


Задача 1 :

Докажите, что уравнение  x4– 4x3 + 12x2 – 24 x + 24 = 0  не имеет решений.

Задача 2 :

Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.

Задача 3 :

Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.

Задача 4 :

Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число √2 + √3.



Решение олимпиадных заданий по математике для 10 класса



Задача 1 :

Уравнение x4 – 4x3 + 12x2 – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)2 + 8(x – 1,5)2 + 6 = 0,   которое не имеет решений.

Задача 2 :

Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов. Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент она будет равна m. Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой, равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов, которое еще предстоит забить первой команде. Аналогично можно рассуждать и с первой командой.

Задача 3 :

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения (2 – h)2 + x2 = R2,   (2y + h)2 + y2 = R2.  Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.

Задача 4 :

Обозначим √2 + √3 =a.
Тогда a2 = 5 + 2 √6, а  a2 – 52 = 2 √.62 или a 4 – 10a2 + 25 = 24, которое равносильно a4 – 10a2 + 1 = 0.
А это и означает, что а является корнем многочлена
 x4 – 10x2 + 1.

Олимпиада по математике с решением 10 класс


Задача № 1 :

Решите уравнение:

(x - 2)(x - 3)(x + 4)(x + 5) = 1320.

Задача № 2 :

На плоскости дан отрезок АВ.
Где может быть расположена точка С, чтобы угол АВС был остроугольным?

Задача № 3 :

Найти все натуральные числа, оканчивающиеся на 2006,
которые после зачеркивания последних четырех цифр уменьшаются в целое число раз.

Задача № 4 :

Вычислить сумму a2006 + 1/a2006, если a2a + 1 = 0.

Задача № 5:

Лист бумаги разрезали на 5 частей, некоторые из этих частей разрезали на 5 частей, и т. д.
Может ли за некоторое число разрезаний получиться 2006 листка бумаги?



Решение задач :


Задача № 1 :

Ответ: -8; 6.

Задача № 2 :

Построим на АВ как на диаметр окружность и проведем через А и В две прямые, перпендикулярные отрезку АВ.
Точка С может находится между этими прямыми вне круга.

Задача № 3 :

Пусть натуральные числа имеют вид x•10000 + 2006, где x € N. После вычеркивания последних цифр получим число x.
По условию, где n € N. Отсюда имеем, что должно быть натуральным числом, т. е. x - делитель числа 2006.
Число 2006 имеет делители: 1; 2; 17; 34; 59; 118; 2006.
Следовательно, имеются числа, отвечающие условию задачи: 12006; 22006; 172006; 342006; 592006; 1182006; 20062006.

Задача № 4 :

Так как a<>0, то, разделив обе части исходного уравнения на a, получим a + 1/a = 1.
Заметим, что a3 + 1 = 0, т. к. a3 + 1 = (a + 1)(a2a + 1).
Таким образом, a3 = -1. Тогда a2006 + 1/a2006 = (a3)6682 = a2 + 1/a2 = - 1.

Задача № 5 :

Замечаем, что при каждом разрезании из одного листка получаем пять, т. е. число листков увеличивается на 4.
Следовательно, из исходного листа может получиться число листков вида 1 + 4n, где n € N,
т. е. это число при делении на 4 дает остаток 1.
Но 2006 = 4•501 + 2. Следовательно, 2006 листков получиться не может.



Примеры олимпиадных заданий с решением по математике для 10 класса

Задача 1.

Условие

На базаре продаются рыбки, большие и маленькие. Сегодня три больших и одна маленькая стоят вместе столько же, сколько пять больших вчера. А две большие и одна маленькая сегодня стоят вместе столько же, сколько три больших и одна маленькая вчера.
Можно ли по этим данным выяснить, что дороже: одна большая и две маленьких сегодня, или пять маленьких вчера.

Решение

Обозначим "рыбные цены": сегодня большая рыба стоит bc, а маленькая mc. Вчера большая стоила bv, а маленькая — mv.
Тогда из условий задачи имеем два уравнения
3bc + mc = 5bv, 2bc + mc = 3bv + mv.
Отсюда получаем:
5mv = (2bc + mc - 3bv)5 = 10bc + 5mc - 3(3bc + mc) = bc + 2mc.
То есть пять маленьких вчера стоили столько же, сколько одна большая и две маленькие сегодня.

Задача 2

Условие

Несколько ящиков вместе весят 10 тонн, причем каждый из них весит не более одной тонны.
Сколько трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти этот груз?

Решение

Покажем, что пяти машин заведомо достаточно. Будем грузить машины ящиками в любом порядке до тех пор, пока ящики не кончатся, следя лишь за тем, чтобы не наступила «перегрузка» машины. Это возможно, так как в любой момент погрузки будет хотя бы одна машина, загруженная не более чем двумя тоннами. Действительно, если бы все машины были загружены больше, чем на две тонны, то общий вес груза составлял бы больше, чем 5 • 2т = 10т, что противоречит условию задачи. Эту машину можно догрузить любым ящиком, поскольку по условию задачи он весит не более тонны. Осталось показать, что четырех машин может не хватить. Например, для вывоза 13 ящиков весом т каждый, четырех машин недостаточно. Действительно, каждая машина может увезти не более трех таких ящиков, так как четыре ящика весят т > 3т. Значит, все машины увезут не больше 12 ящиков.



Олимпиадные задания по математике для 10 класса

1. Между числами 4/7 и 5/7 найти натуральное число, являющееся квадратом рационального числа.


2. Разложить многочлен x5 + х4 +1 в произведение нескольких (не менее двух) многочленов степени не ниже первой.


3. Вершины D, Е и F треугольника DEF лежат на продолжениях сторон АВ, ВС и СА треугольника ABC за вершины В, С и А соответственно. Известно, чти BD = AC, AF = CE = AB и треугольник DEF - равносторонний. Докажите, что и треугольник ABC - равносторонний.


4. Докажите, что в пятиугольнике, все углы и стороны которого равны, сумма расстояний от произвольной внутренней точки до сторон не зависит от выбора этой точки.


5. Волк и Заяц играют в следующую игру: на доске написано число; ход состоит в том, чтобы вычесть из этого числа какую-либо его ненулевую цифру и записать получившееся число на месте старого.
Ходят по очереди.
Выигрывает тот, кто первым получает ноль.
На доске исходно написано число 1234, первым ходит Волк.
Кто выиграет при правильной игре?



Олимпиада по математике с решением и ответами 10 класс

                     Вариант 1            Вариант 2


Н а в е р х