Олимпиадные задания по математике 9 класс

Олимпиадные задания с решением по математике для 9 класса


                     Вариант 1            Вариант 2            Вариант 3


Задача № 1:

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Задача № 2:

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой. Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д., причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде, из которого вода отливается. Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Задача № 3:

Решите неравенство :     

Задача № 4:

Решите уравнение :      x2 + 2005x – 2006 = 0.

Задача № 5:

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков. Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку, если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?




Решение олимпиадных заданий по математике для 9 класса:


Задача № 1:

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что треуг-к АСМ - равносторонний. Но это значит, что треуг-к АОD и треуг-к ВОС - тоже равносторонние.


Отсюда непосредственно следует, что треуг-к АОВ = треуг-к СОD, откуда имеем, что AB = CD.





Задача № 2:

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить, что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды. Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером. Если после переливания с нечетным номером 2k - 1 в сосудах было по 12 л, то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть, так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л). При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается (k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л). Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет по 12 л воды.


Задача № 3:

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x2 – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Задача № 4:

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1. Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x1x2 = -2006 и x1 = 1, то x2 = 2006.

Задача № 5:

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов, то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка. Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26. Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.


Олимпиадные задания по математике для 9 класса с решением

Задание с решением:


Изначально на доске были написаны одночлены s
1, x, x2, ..., xn.
Договорившись заранее, k мальчиков каждую минуту одновременно вычисляли каждый сумму каких-то двух многочленов, написанных на доске, и результат дописывали на доску.
Через m минут на доске были написаны, среди прочих, многочлены  S1 = 1 + xS2 = 1 + x + x2S3 = 1 + x + x2 + x3,  ...,  Sn = 1 + x + x2 + ... + xn.

Докажите, что

.



Решение:


Построим граф,
соответствующий конечной ситуации на доске:
если многочлен P появился как сумма многочленов Q и R,
то проведём стрелки из P в Q и R.

Если из многочлена F
ведёт ориентированный путь в G,
будем говорить, что G участвует в F (в частности, сам F участвует в F).

Нетрудно видеть в этом случае, что все коэффициенты многочлена FG неотрицательны.

Можно считать, что каждый многочлен на доске сумма различных степеней x:
если какой-то коэффициент многочлена не меньше 2, то и у всех, в которых он участвует, соответствующий коэффициент также будет не меньше 2.
Значит, он не участвует в суммах вида Si.


Каждый из многочленов  S1, ..., Sn  назовём финальным. Каждый из многочленов, участвующих в Sn (то есть в сумме всех исходных одночленов), назовём существенным.


Покажем индукцией по p, что в многочлене с p ненулевыми коэффициентами участвуют ровно  2p – 1  многочленов (из которых p одночленов); отсюда будет следовать, что количество существенных многочленов равно  2n + 1.  База  (p = 1)  очевидна.


. Пусть многочлен P был получен на некотором шаге как сумма Q и R, и количества ненулевых коэффициентов в P, Q и R равны p, q и r соответственно; тогда  p = q + r.  По предположению индукции, в Q и R участвуют  2q – 1  и  2r – 1  многочленов, среди которых нет совпадающих (поскольку в Q и R нет общих одночленов). Тогда в P, с учётом самого P, участвуют
(2q – 1) + (2r – 1) + 1 = 2p – 1  многочленов.


Покажем, что в каждую минуту на доске появлялось не более одного финального существенного многочлена. Действительно, пусть в некоторый момент появились одновременно существенные многочлены Sp и Sq  (p < q).Рассмотрим первый момент, когда на доске появился многочлен P, в котором одновременно участвуют и Sp и Sq; тогда он появился как сумма двух многочленов, каждый из которых содержит одночлен xp. Но тогда коэффициент при xp в P не меньше 2, что невозможно.


Итак, на доске есть n финальных и  2n + 1  существенных многочленов, при этом не больше m из них являются и теми и другими.

Значит, общее количество многочленов на доске не меньше, чем  n + (2n + 1) – m

С другой стороны, исходно на доске был  n + 1  многочлен, а добавилось не больше, чем mk.

Значит,  (n + 1) + mkn + (2n + 1) – m,  или  m(k + 1) ≥ 2n.


Задания олимпиады по математике в 9 классе с решением

                     Вариант 1            Вариант 2            Вариант 3


Н а в е р х