В оранжерее было срезано 360 гвоздик. Причем красных на 80 больше, чем белых, а розовых на 160 штук меньше, чем красных. Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из этого количества цветов ? Сколько и каких цветов было в каждом букете?
Ответ:
Решая уравнение, получаем 40 розовых гвоздик,120 белых гвоздик, 200 красных гвоздик. НОД (40, 120,200) равен 40, следовательно из 360 гвоздик можно составить 40 букетов, причем каждый букет будет состоять из 1 розовой, 3 белых и 5 красных гвоздик.
Задание 3.
Существует ли такой круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же числом ?
Ответ:
Да, при радиусе равном 2.
Задание 4.
После семи стирок измерения куска хозяйственного мыла, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, уменьшились в двое. На сколько еще стирок хватит оставшегося куска мыла ?
Ответ:
Мыла хватит еще на одну стирку, т.к. объем оставшегося мыла составил 1/8 часть первоначального, израсходовано мыла: 1 - 1/8 = 7/8 куска, значит на каждую стирку расходовалось 1/8 часть куска, именно столько осталось.
Задание 5.
Какими двумя цифрами заканчивается число 13! ?
Ответ:
В произведении 1 x 2 x 3... x 13 есть множители 2, 5 и 10, значит число 13! Заканчивается двумя нулями.
Задание 6.
Из 38 учащихся 28 посещают хор и 17 лыжную секцию. Сколько лыжников посещает хор, если в классе нет учащихся, которые не посещают хор или лыжную секцию ?
Ответ:
7 человек. Хор не посещают 10 человек, все они лыжники. Лыжников всего 17человек, значит 7 человек надо «взять» из хора.
Задание 7.
Окружность касается квадрата извне и «катится» по нему без скольжения. Сколько полных оборотов сделает эта окружность около своего центра и какой путь пройдет центр окружности к моменту возвращения в исходную точку, если длина стороны квадрата равна длине окружности и радиус окружности равен а см ? Те же вопросы, если окружность «катится» по сторонам равностороннего треугольника.
Ответ:
В случае квадрата каждая точка окружности сделает 4 оборота около своего центра. Центр окружности сделает четверть оборота около каждой вершины квадрата. За один обход центр окружности совершает путь, равный 5 x 2Па см. В случае треугольника - соответственно 3 оборота и 8П а см
Задание 8.
Во время похода палатки расположились в т. А,В, и С. В каком месте удобно выбрать площадку для проведения общего костра, чтобы расстояние от него до палаток было одинаковым ?
Ответ:
Точка осей симметрии точек А и В и точек В и С будет искомой.
Задание 9.
Найдите произведение всех целых чисел от (-99) до 99.
Ответ:
0
Задание 10.
Две семьи выехали каждая на машине «Жигули» на прогулку одновременно из одного места. Обе семьи проехали на машинах одинаковые расстояния и вернулись домой в одно и то же время. В пути они отдыхали. Первая семья была в пути в двое больше времени, чем вторая. Вторая была в пути втрое больше времени. Чем отдыхала первая. Какая из этих семей двигалась на машине быстрее ?
Ответ:
1-я семья: 2х часов - время на езду, у часов - время на отдых. 2-я семья: 3у часов - время на езду, х часов - время на отдых 2х + у = 3у + х; х = 2у. Вторая семья отдыхала в два раза больше, чем первая следовательно, она ехала быстрее первой.
Задание 11.
Сосуд имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Как, не делая никаких измерений и не имея других емкостей, наполнить водой ровно половину объема этого сосуда?
Ответ:
Наклонить параллелепипед так, чтобы уровень воды находился по диагональному сечению параллелепипеда.
Олимпиадные задания по математике 8 класс с ответами
