Все трехзначные числа записаны в ряд: 100 101 102 ..... 998 999. Сколько раз в этом ряду после двойки идет нуль?
Задание 2
По определению, n ! = 1 х 2 х 3 ? х............х n . Какой сомножитель нужно вычеркнуть из произведения 1! х 2! х 3! х ............х 20! , чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа?
Задание 3
С помощью циркуля и линейки разделите пополам угол, вершина которого недоступна.
Задание 4
Сколько существует треугольников со сторонами 5 см и 6 см, один из углов которого равен 20.
Задание 5
На столе лежат 2005 монет. Двое играют в следующую игру: ходят по очереди; за ход первый может взять со стола любое нечетное число монет от 1 до 99, второй любое четное число монет от 2 до 100. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
Задание 6
На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали k точек и построили выпуклый k-угольник с вершинами в выбранных точках. При каком наибольшем k могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?
Олимпиада по математике 9 класс. Решения.
Задание 1:
Так как трехзначное число не может начинаться с нуля, то двойка, после которой идет нуль, не может стоять в разряде единиц одного из трехзначных чисел ряда. Пусть двойка стоит в разряде десятков трехзначного числа. Тогда идущий за ней нуль стоит в разряде единиц того же числа, т.е. это число оканчивается на 20. Таких чисел 9: 120, 220, .........., 920. Наконец, если двойка, после которой идет нуль, стоит в разряде сотен, то соответствующее трехзначное число начинается на 20. Таких чисел 10: 200, 201, .........., 209. Таким образом, всего после двойки нуль будет встречаться 19 раз.
Задание 2:
Заметим, что 1! х 2! х 3! х 4! х.......х 20! = (1! х 2!) х (3! х 4!) х..........х (19! х 20!) =
= (1! х 1! х 2) х (3! х 3! х 4) х (5! х 5! х 6) х...........х (17! х 17! х 18) х (19! х 19! х 20) =
= (1!)2 х (3!)2 х (5!)2 х............х (19!)2 х (2 х 4 х 6 х 8 х...........х 18 х 20) =
= (1!)2 х (3!)2 х (5!)2 х.............х (19!)2 ?х (2 х (2 х 2) х (3 х 2) х..............х (10 х 2)) =
= (1! х 3! х............х 19!)2 х 210 х (1 х 2 х 3 х...............х 2 х 10) = (1! х 3! х..............х 19!)2 (25)2 х 10!
Мы видим, что первые два множителя квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат. Легко видеть, что вычеркивание других множителей, указанных в ответах, не дает желаемого результата. Ответ: 10!
Задание 3:
Задание имеет множество решений. Рассмотрим один из них. Выберем на сторонах угла произвольно по 2 точки: A, N, B, M и рассмотрим
треугольники АВС и NМС. Проведем в каждом из этих треугольников биссектрисы углов. Точка пересечения биссектрис углов треугольника АВС принадлежит и биссектрисе угла С. Аналогично, точка пересечения 2 биссектрис углов треугольника NМС также лежит на биссектрисе угла С. Проводим через эти 2 точки прямую, которая будет и биссектрисой х С.
Задание 4:
Есть только один треугольник, в котором угол 20 град. лежит между сторонами 5 см и 6 см. Попробуем построить треугольник, в котором сторона 6 см прилегает к углу 20 град. , а сторона 5 см лежит против него. Для этого от вершины угла отложим отрезок длиной 6 см, и проведем окружность радиуса 5 см с центром этого отрезка, не совпадающем с вершиной. Расстояние от центра этой окружность до второй стороны угла меньше 5 см (это расстояние равно катету угла в 20 град.). Отсюда следует, что окружность пересечет прямую, содержащую вторую сторону угла, в двух точках, причем из-за того что радиус меньше 6 см, обе эти точки будут лежать на стороне угла, и мы получим два разных треугольника. Если же попробовать поменять ролями отрезки в 5 см и 6 см, то вершина угла окажется внутри построенной окружности, и мы получим только одну точку пересечения, а следовательно, и один треугольник. Итак, мы получили всего 4 треугольника.
Задание 5:
Опишем стратегию первого игрока. Первым ходом он должен взять со стола 85 монет. Каждым следующим, если второй игрок берет х монет, то первый игрок должен взять 101 х монет (он всегда может это сделать, потому что если х четное число от 2 до 100, то (101 х ) нечетное число от 1 до 99). Так как 2005=101 19 + 85 + 1, то через 19 таких ответов после хода первого на столе останется 1 монета, и второй не сможет сделать ход, т. е. проиграет.
Задание 6:
Пусть A1, A2, , A2012 – отмеченные точки в порядке обхода (будем считать, что A2013 = A1, A2014 = A2). Разобьём их на четвёрки
Если среди выбранных k точек встретятся все точки некоторой четвёрки
(A2i–1, A2i, A2i+1005, A2i+1006),
то в полученном многоугольнике найдутся две стороны
A2i–1A2i и A2i+1005A2i+1006,
которые симметричны относительно центра окружности и потому параллельны.
Значит, в каждой из 503 четвёрок будет отмечено не более трёх вершин, то есть k ≤ 503· 3 = 1509.
Пример 1509-угольника без параллельных сторон с вершинами в отмеченных точках:
A1A2...A1006A1008A1010... A2012
(вершинами являются все точки с номерами от 1 до 1006 и все точки с чётными номерами от 2008 до 2012).
Действительно, стороны A2012A1, A1A2, ..., A1005A1006 лежат по одну сторону от диаметра A2012A1006 и потому не параллельны; аналогично, стороны A1006A1008, ..., A2010A2012 попарно не параллельны.
Наконец, малая диагональ AjAj+2 правильного 2012-угольника не параллельна его сторонам; значит, никакие две стороны вида AiAi+1 и AjAj+2 также не могут быть параллельными. Ответ При k = 1509.